Relation d'ordre
Rappel :
Une relation d'ordre sur un ensemble
est une relation binaire réflexive, antisymétrique et transitive.
L'ordre est total si :
. Sinon l'ordre est partiel.
Exemple :
L'ensemble
des entiers naturels est muni d'une relation d'ordre total compatible avec l'addition et la multiplication.L'ensemble
des entiers relatifs est un anneau totalement ordonné.L'ensemble
est un corps totalement ordonné.
Sur
et
, la relation d'ordre est compatible avec l'addition, mais pas avec la multiplication.
On a un anneau ou un corps ordonné si, pour tous
et
, on a
.
Par contre, le corps des complexes
n'est pas un corps ordonné.
Définition :
Si
est une partie non vide de
et si la relation d'ordre est totale et notée
:
est un majorant de
si :
.-
est un minorant de
si :
. -
est un plus grand élément de
si :
et
est un majorant. -
est un plus petit élément de
si :
et
est un minorant.
-
est borne supérieure de
si
est le plus petit des majorants.
-
est borne inférieure de
si
est le plus grand des minorants.
Ces éléments n'existent pas toujours.
Exemple :
Toute partie non vide de
possède un plus petit élément.
Toute partie non vide majorée de
possède un plus grand élément, mais l'ensemble
n'a pas de plus grand élément.
Fondamental :
Principe de récurrence :
Si une propriété
définie sur
vérifie les deux axiomes suivants :
Initialisation :
est vraie.Hérédité : Pour tout entier
tel que
est vraie, alors
est vraie.
Alors la propriété
est vraie pour tout entier
de
.
