Exo 3
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
un ensemble et
une partie non vide de
.
On définit sur
la relation binaire :
.
Question
Démontrer que la relation
est une relation d'équivalence.
Les propriétés de la relation
sont conséquences directes de celles de l'égalité :
Elle est réflexive puisque :
, donc
.
Elle est symétrique puisque :
, donc
.
Elle est transitive puisque :
, donc
.
Conclusion : La relation
est une relation d'équivalence.
Question
Démontrer qu'il existe une bijection
entre l'ensemble quotient
et
.
A toute partie de
, faites correspondre sa classe d'équivalence.
Démontrez que l'application est bijective.
L'ensemble quotient
est l'ensemble des classes d'équivalence.
Soit
. Notons
la classe d'équivalence de
.
Une partie
de
appartient à
si et seulement si
, donc si
. Or :
. Donc si
appartient à la classe d'équivalence de
, alors il existe
tel que :
.
Réciproquement, si
et
, alors
, donc
, donc
, donc
appartient à
.
Donc :
.
Soit
l'application de
dans
qui à toute partie
associe sa classe d'équivalence :
.
Donc :
pour toute partie
de
. Donc
est surjective.
Et pour toutes parties
et
de
,
si et seulement si
, donc si
, donc si
, donc si
. Donc
est injective.
Donc l'application
est bijective.
Conclusion : Il existe une bijection
entre l'ensemble quotient
et
.
Question
Montrer que la relation
est compatible avec la loi
(différence symétrique).
Si
, il existe
tel que
.
Démontrez que, si
, alors pour tout
:
.
Supposons que
et
.
Donc il existe
tel que
. Donc :
.
.
Donc :
. Or
.
Donc :
. Or
.
Donc :
.
Donc si
, alors pour tout
, on a :
.
Or la loi
est commutative.
Donc si
et
, on a
et
.
Donc par transitivité, si
et
, alors
.
Conclusion : La relation
est compatible avec la loi
.
Question
En déduire que
peut être muni d'une structure de groupe. L'application
est-elle un isomorphisme de groupes ?
C'est le cours !
est un groupe commutatif.
Conclusion :
peut être muni d'une structure de groupe commutatif.
La loi sur
est définie par :
.
est un groupe commutatif.
Et pour tous
et
:
.
Conclusion : L'application
est un isomorphisme de groupes de
dans
.
Question
Montrer que
peut aussi être muni d'une structure d'anneau. L'application
est-elle un isomorphisme d'anneaux ?
Démontrez que la relation
est aussi compatible avec la loi
, puis que l'application
est un isomorphisme d'anneaux.
Si
et
, alors :
et
.
Donc :
.
Donc la relation
est compatible avec la loi
.
Or
est un anneau commutatif.
Conclusion :
peut être muni d'une structure d'anneau commutatif.
Les lois sur
sont définies par :
et
.
est un anneau commutatif.
Et pour tous
et
:
.
Conclusion : L'application
est un isomorphisme d'anneaux de
dans
.
