Relation d'équivalence
Rappel :
Une relation d'équivalence sur un ensemble
est une relation binaire réflexive, symétrique et transitive.
Définition :
Si
est une relation d'équivalence sur
, la classe d'équivalence d'un élément
est :
.
Donc
.
Les classes d'équivalence forment une partition de
.
L'ensemble quotient
est l'ensemble de toutes les classes d'équivalence.
Si
est compatible avec une loi de composition interne
sur
, l'ensemble quotient
peut être muni de la loi de composition interne (notée aussi
) :
.
Exemple :
Sur l'ensemble des couples de points du plan, la relation "
si les segments
et
ont même milieu" est une relation d'équivalence.
La classe d'équivalence de
est le vecteur
. L'ensemble quotient est l'ensemble des vecteurs du plan.
Fondamental :
Relations d'équivalence dans un groupe :
Si
est un groupe et
une relation d'équivalence compatible avec la loi
, alors
est un groupe.Si
est l'élément neutre de
:
Si
est un sous-groupe de
, on lui associe deux relations d'équivalence :la relation d'équivalence modulo
à gauche :
.
la relation d'équivalence modulo
à droite :
.
Elles sont compatibles avec la loi
si et seulement si
est un sous-groupe distingué de
:
.Si
est un groupe fini, les nombres de classes d'équivalence modulo
à gauche et à droite sont égaux. C'est l'indice
de
dans
et
.
Fondamental :
Relations d'équivalence dans un anneau :
Si
est un anneau et
une relation d'équivalence compatible avec les deux lois, alors
est un anneau.Si
est l'élément neutre de l'addition :
.
Si
est un idéal de
, on lui associe la relation d'équivalence modulo
:
.Cette relation est compatible avec les deux lois, et l'anneau quotient est noté
.Si l'anneau
est commutatif :l'anneau
est un corps si et seulement si l'idéal
est maximal (il n'existe pas d'idéal plus grand sauf
).l'anneau
est un anneau intègre si et seulement si l'idéal
est premier :
.
