Exo 2
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
avec
et
.
Soit
l'application définie par :
.
On définit une relation binaire
sur
par :
.
Question
A quelle condition la relation
est-elle réflexive ?
Remarque :
On peut remarquer que la représentation du graphe
de cette relation est une conique passant par l'origine du repère.
La relation
est réflexive si et seulement si :
, donc si et seulement si :
.
Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
Donc la relation
est réflexive si et seulement si :
.
Conclusion : La relation
est réflexive si et seulement si :
.
Alors :
avec
et
.
Donc la conique
est la réunion des droites d'équations
et
.
Question
A quelle condition la relation
est-elle symétrique ?
La relation est symétrique si et seulement si
pour tout
du graphe.
La relation
est symétrique si et seulement si :
.
Donc la relation
est symétrique si et seulement si :
.
Or :
.
Donc :
.
Donc la relation
est symétrique si et seulement si :
.
Donc
est symétrique si et seulement si :
, propriété notée
.
Si
et
, la propriété
est vérifiée pour tout
, donc pour tout
. Donc
est symétrique.
Si
et
, la propriété
est vérifiée si
. Alors :
avec
, et
ou
. Donc
. Or
et
. L'un au moins des deux est non nul. Donc
n'est donc pas symétrique.Si
, la propriété
est vérifiée si et seulement si :
, donc si
.
Conclusion : La relation
est symétrique si et seulement si
ou si
.
Dans le premier cas :
.
La conique
est le cercle de centre
et de rayon
.
Dans le deuxième cas :
.
La conique
est la réunion de deux droites d'équations
et
.
Dans les deux cas, la conique est symétrique par rapport à la droite d'équation
.
Question
La relation
peut-elle être une relation d'équivalence ?
Démontrez que, si elle est réflexive, on peut factoriser
.
Démontrer qu'elle est alors symétrique et transitive.
Pour que la relation
soit une relation d'équivalence, il faut qu'elle soit réflexive et symétrique, donc il faut que
.
Donc :
en posant
.
Il faut de plus qu'elle soit transitive, donc que :
.
Or :
équivaut à
.
Donc, si
, il y a quatre cas :
ce qui implique
, donc
.
ce qui implique
, donc
.
ce qui implique
, donc
.
ce qui implique
, donc
.
Donc si
, la relation
est transitive.
Conclusion : La relation
est une relation d'équivalence si et seulement si
.
Question
La relation
peut-elle être une relation d'ordre ?
Démontrez que, si elle est réflexive, alors elle n'est pas antisymétrique (trouvez un contre-exemple).
Pour que la relation
soit une relation d'ordre, il faut qu'elle soit réflexive, donc il faut que
.
D'après les calculs précédents, la relation
est alors transitive.
On a :
. Donc
et
.
Donc
n'implique pas
.
Donc la relation
n'est pas antisymétrique.
Conclusion : La relation
ne peut pas être une relation d'ordre.
Complément :
La recherche d'une condition pour que
soit antisymétrique est beaucoup plus compliquée.
La relation
est antisymétrique si et seulement si :
.
Donc la relation
est antisymétrique si et seulement si :
.
Or :
.
Donc :
.
Si
et
, alors
.Donc :
et
. Donc
n'est pas antisymétrique.Si
et
, alors
. C'est vrai en particulier pour tout
. Donc
est antisymétrique.Si
, alors
.Donc
est antisymétrique si
, donc si dans
il n'existe pas de couple
tel que
et
.Or si
et
, alors :
.Donc :
équation notée
.Si
, on obtient
.Si
et
, il n'existe pas de couple
tel que
.Donc
.Donc
est antisymétrique.Si
:
. Donc
et
.Donc
n'est pas antisymétrique.Si
:
. Donc :
et
.Donc
n'est pas antisymétrique.
Si
, l'équation
est une équation du second degré.Son discriminant est :
.Si
, il n'existe pas de couple
tel que
.Donc
est antisymétrique.Si
, il existe deux couples distincts
tel que
.Pour que
soit antisymétrique, il faut que ces couples vérifient
. Or la seule possibilité est
. Donc au plus un couple convient.Donc
n'est pas antisymétrique.Si
, l'équation
a une racine double
, donc
.Donc
est antisymétrique.
Conclusion : La relation
est antisymétrique si
ou
ou
.
