Exo 1
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Une relation binaire peut-elle être à la fois symétrique et antisymétrique ?
Traduisez les hypothèses pour deux éléments quelconques.
Soit
une relation binaire qui est à la fois symétrique et antisymétrique.
Soit
tel que
. Par symétrie, on a
.
Donc par antisymétrie, on a
.
Donc :
.
Conclusion : La seule relation binaire qui est à la fois symétrique et antisymétrique est l'égalité.
Question
Une relation qui n'est pas symétrique est-elle nécessairement antisymétrique ?
Par exemple, étudiez sur
la relation :
.
La plupart des relations binaires ne sont ni symétriques ni antisymétriques.
Par exemple, sur
, on définit la relation
par :
.
La relation
n'est pas symétrique car on a
mais on n'a pas
.
est solution de l'équation
. Donc
.
Donc si
, on a :
.
Donc si
et
, on a
et
, mais pas
.
Donc la relation
n'est pas antisymétrique.
Conclusion : Une relation qui n'est pas symétrique n'est pas nécessairement antisymétrique.
"Antisymétrique" n'est pas le contraire de "Symétrique".
