Exo 6
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
un anneau commutatif.
Pour tout idéal
de
, on définit :
.
Question
Déterminer
si
et si
.
Utilisez les divisibilités.
Soit
. Donc il existe un entier
tel que
, donc tel que
soit divisible par
.
Donc
et
divisent
, donc ils divisent
puisqu'ils sont premiers.
Donc
divise
puisque
et
sont premiers entre eux. Donc
.
Donc :
.
Réciproquement si
,
est divisible par
, donc
est divisible par
, donc par
. Donc
.
Donc :
.
Conclusion :
.
Question
Soit
un anneau commutatif.
Démontrer que
pour tout idéal
de
, et que si
et
sont deux idéaux tels que
, alors
.
, donc
.
Conclusion :
.
Si
, pour tout
, il existe un entier
tel que
, donc
, donc
.
Conclusion : Si
, alors
.
Question
Démontrer que
est un idéal de
.
Pour démontrer que
est un sous-groupe additif de
, utilisez la formule du binôme de Newton.
Soit
. Donc il existe des entiers
et
tels que
et
.L'anneau est commutatif, donc :
.Si
, alors
, donc
est le produit d'un élément de
par un élément de
, donc appartient à
.Si
, alors
est le produit d'un élément de
par un élément de
, donc appartient à
.Or
est un idéal, donc stable par addition. Donc
appartient à
. Donc
.
Soit
et
. Donc il existe un entier
tel que
.Or
est un anneau. Donc
appartient à
. Et
est un idéal de
, donc
. Or l'anneau est commutatif, donc :
. Donc
. Donc
.
Conclusion :
est un idéal de
.
Question
Question
Si
et
sont deux idéaux de
, démontrer que :
.
Démontrez successivement les deux inclusions.
Montrons successivement les deux inclusions.
et
. Donc d'après la deuxième question :
et
. Donc :
.
Inversement, soit
, donc
et
.Donc il existe deux entiers
et
tels que
et
.Donc
est produit d'un élément de
par un élément de
, donc
.De même
est produit d'un élément de
par un élément de
, donc
.Donc
. Donc
. Donc :
.
Conclusion :
.
Question
Si
et
sont deux idéaux de
, démontrer que :
.
Démontrez successivement les deux inclusions.
Utilisez la formule du binôme de Newton.
Montrons que
.
et
. Donc :
. Donc :
.Montrons que
. Soit
. Donc
avec
et
.Donc il existe des entiers
et
tels que
et
.L'anneau est commutatif, donc :
.Si
, alors
, donc
est le produit d'un élément de
par un élément de
, donc appartient à
. Donc
.Si
, alors
est le produit d'un élément de
par un élément de
, donc appartient à
. Donc
.Donc
. Donc
.Donc :
. Donc :
. Or :
.Donc :
.
Conclusion :
.
