Exo 5
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
un ensemble non vide et
l'ensemble des applications de
dans
.
On munit
de la loi
définie par :
, et de la multiplication :
.
Question
Démontrer que
est un anneau commutatif.
N'oubliez pas de démontrer que les lois sont internes.
Montrons d'abord que les lois sont internes. Soient
et
appartenant à
et
.
Donc :
et
. Donc
et
.
Donc les deux lois sont des lois de composition interne, commutatives de manière évidente.
Etudions l'associativité de la loi
. Soient
,
et
trois éléments de
.On a :
.Et :
.Donc :
. Donc la loi
est associative.
La loi
admet un élément neutre
:
.En effet :
, donc
.Etudions l'inversibilité des éléments de
pour la loi
.En remarquant que
et
, on voit que :
, et donc
.Donc tout élément
de
est symétrique de lui-même pour la loi
.Il est évident que la multiplication est associative.
Etudions sa distributivité par rapport à la loi
.Soient
,
et
trois éléments de
.On a :
.Et :
car
.Donc :
. Donc la loi
est distributive par rapport à la loi
.La loi
admet un élément neutre
:
.
Conclusion :
est un anneau commutatif.
Question
En déduire que
est un anneau commutatif.
Pensez aux fonctions caractéristiques.
Soit
l'application qui à toute partie
de
associe sa fonction caractéristique
.
Or :
. Donc
est une application de
dans
.
Elle est bijective car :
. C'est :
.
On a vu dans la séquence sur les ensembles que :
et
.
Donc pour toutes parties
et
de
:
et
.
Donc
est un isomorphisme de
dans l'anneau commutatif
.
Conclusion :
est un anneau commutatif.
