Structure d'anneau
Définition :
est un anneau si
est un groupe commutatif et si la loi
est interne, associative, distributive à gauche et à droite par rapport à la loi
et si elle a un élément neutre.
L'ensemble des éléments inversibles (qui admettent un inverse pour la loi
) muni de la loi
est un groupe.
L'anneau est commutatif si la loi
est commutative.
L'anneau est intègre si :
, où
est l'élément neutre de la loi
.
Exemple :
L'ensemble
est un anneau commutatif intègre.
L'ensemble
des matrices carrées d'ordre
, muni de l'addition et de la multiplication, est un anneau non commutatif et non intègre.
Définition :
Une partie
de
est un sous-anneau de
si la restriction des lois
et
à
munit
d'une structure d'anneau.
Une partie
de
est un sous-anneau de
si et seulement si :
(où
est le symétrique de
pour la loi
). 
.L'élément neutre de la loi
appartient à
.
Définition :
Une partie
de
est un idéal à gauche de
si
et
. Une partie
de
est un idéal à droite de
si
et
. L'idéal est bilatère s'il est idéal à gauche et à droite.
L'idéal est principal s'il est l'ensemble des multiples d'un unique élément
. On le note
si c'est un idéal à gauche et
si c'est un idéal à droite.
Exemple :
Tout idéal de
est principal, donc de la forme
où
.
Dans la suite, on adoptera la notation
et
pour les deux lois.
Fondamental :
est un morphisme de l'anneau
vers l'anneau
si :
et
.
et
.
et, si
est inversible,
=
.L'image d'un sous-anneau de
est un sous-anneau de
.L'image réciproque d'un sous-anneau de
est un sous-anneau de
.L'image d'un idéal de
est un idéal de
.L'image réciproque d'un idéal de
est un idéal de
.
