Exo 10
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
un entier naturel non nul.
On possède
boules numérotées de
à
que l'on veut ranger dans
casiers numérotés de
à
. On suppose que l'on ne peut mettre qu'une boule par casier.
Une boule est « bien rangée » si elle est mise dans le casier qui porte son numéro. Sinon, on dit qu'elle est « dérangée ».
On note
le nombre de dérangements, c'est-à-dire le nombre de dispositions des
boules dans les
casiers pour lesquelles toutes les boules sont dérangées. Et on pose
.
Question
Calculer
,
et
.
Si
, il y a un seul casier et une seule boule. Elle est évidemment bien rangée.
Conclusion : Le nombre de dérangements est
.
Si
, il y a deux casiers et deux boules. Les dispositions des boules dans les casiers sont
(donc 2 boules bien rangées) et
(donc 2 boules dérangées).
Conclusion : Le nombre de dérangements est
.
Si
, il y a trois casiers et trois boules. Les dispositions des boules dans les casiers sont
(donc 3 boules bien rangées),
(donc 1 boule bien rangée et 2 boules dérangées),
(donc 1 boule bien rangée et 2 boules dérangées),
(donc 3 boules dérangées),
(donc 3 boules dérangées),
(donc 1 boule bien rangée et 2 boules dérangées).
Conclusion : Le nombre de dérangements est
.
Question
Démontrer que :
.
Définissez une partition de l'ensemble de toutes les dispositions possibles suivant le nombre de boules dérangées.
L'ensemble des dispositions des
boules dans les
casiers est l'ensemble
des permutations de
. Donc :
.
Pour tout
, on définit l'ensemble
des dispositions dans lesquelles
boules sont dérangées et
boules sont bien rangées.
La famille
, pour tout
, est une partition de l'ensemble
. Donc :
.
Pour calculer
:
il y a
manières de choisir les
boules qui sont dérangées.il y a
manières de déranger ces
boules.il y a une seule manière de bien ranger les autres boules.
Donc :
.
Conclusion :
.
Question
Démontrer que :
.
Définissez l'ensemble
des dispositions pour lesquelles la boule
est bien rangée et utilisez la formule du crible.
Pour tout
, on définit l'ensemble
des dispositions pour lesquelles la boule
est bien rangée.
Donc l'ensemble
de tous les dérangements est :
.
Donc :
.
Or, d'après la formule du crible :
.
est l'ensemble des dispositions dans lesquelles les boules
, ...,
sont bien rangées. Il y a une seule manière de bien les ranger, et
manières de ranger les
autres boules dans les
casiers restant.
Donc :
.
Donc :
.
Le nombre de manières de choisir
dans
est égal au nombre de manières de choisir simultanément
nombres parmi
car il y aura une seule manière de les ordonner.
Donc :
. Or :
.
Conclusion :
.
