Exo 2
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
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Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Soient et deux ensembles non vides, et une application de dans .
Démontrer que l'application est injective si et seulement si il existe une application de dans telle que .
A tout élément de , on peut lui associer son antécédent s'il existe et s'il est unique.
On démontre successivement les deux implications.
On suppose qu'il existe une application de dans telle que .
Soient et deux éléments de tels que . Donc : , donc: , donc : .
Donc l'application est injective.
On suppose que l'application est injective.
Donc tout élément de admet au plus un antécédent, donc soit soit antécédent.
Soit l'ensemble des éléments de qui ont un antécédent dans .
Soit l'application définie par :
pour tout , est son unique antécédent.
pour tout , est un élément fixé de .
Or pour tout , appartient à , donc est l'unique antécédent de , donc .
Donc il existe une application de dans telle que .
Conclusion : L'application est injective si et seulement si il existe une application de dans telle que .