A. Les équations et ont une seule solution dans

Soit la fonction définie par ; est la somme de deux fonctions strictement croissantes et continues sur , et ; d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation admet une seule solution dans .

L'équation est équivalente à l'équation dans ,d'où elle n'admet qu'une seule solution dans .

B. et

Par contre .

et , (pour , ).

C. Pour tout ,

Les fonctions et sont dérivables sur avec donc est dérivable sur et , soit .

D. Une primitive de sur est

est la somme de trois fonctions dérivables sur et pour tout , .