3) La fonction
est définie par
avec
réel.
A. Les équations et
ont une seule solution dans
Soit
la fonction définie par
;
est la somme de deux fonctions strictement croissantes et continues sur
,
et
; d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation
admet une seule solution dans
.
L'équation
est équivalente à l'équation
dans
,d'où elle n'admet qu'une seule solution dans
.
B. et
Par contre .
et
,
(pour
,
).
C. Pour tout ,
Les fonctions et
sont dérivables sur
avec
donc
est dérivable sur
et
, soit
.
D. Une primitive de
sur
est
est la somme de trois fonctions dérivables sur
et pour tout
,
.