A.

et d'où :

B.

A l'aide du changement de variable , (d'après le cours et si alors ).

C. La fonction est continue en zéro

La fonction est définie en zéro ( ) mais elle n'a pas pour limite zéro en zéro d'après les résultats des propositions A et B.

D. La fonction est dérivable à droite en zéro et

La fonction est définie en zéro et (résultat justifié en A) donc elle est dérivable à droite en zéro et .

E. La fonction est dérivable en zéro

Si était dérivable en zéro alors elle serait continue en zéro (propriété du cours) or, d'après la proposition C, elle n'est pas continue en zéro.

L'étude directe donne donc n'est dérivable à gauche en zéro et n'est donc pas dérivable en zéro.

F. Pour tout , .

La fonction est dérivable sur et la fonction est dérivable sur en tant que composée de la fonction dérivable sur et de la fonction exponentielle dérivable sur . La fonction est donc dérivable sur en tant que produit de deux fonctions dérivables sur .

Pour tout , .

Représentation graphique de f