2) Soit
l'équation :
. Dans
:
Dans
,
(
et
).
A l'aide du changement de variable ,
.
Le polynôme du second degré a pour discriminant
; il a donc 2 racines strictement positives
et
.
La fonction exponentielle est continue et strictement monotone de
dans
d'où quel que soit le réel strictement positif
, l'équation
admet une seule solution dans
d'après le théorème des valeurs intermédiaires.
On en déduit que
admet exactement deux solutions dans
.