Introduction
Durée : 90 minutes
Niveau : moyen
Énoncé de l'exercice
Les parties (A), (B), et (C) sont indépendantes.
L'espace est muni d'un repère orthonormal 
.
Les surfaces
et
ont pour équation cartésienne dans 
respectivement : 
et 
.
1)
a. Soit
le point de coordonnées
; déterminer une équation de
dans le repère 
. En déduire la nature de
.
b. Montrer que
est un cône dont vous préciserez le sommet et l'axe.
a. Les formules de changement de repère sont obtenues à l'aide de la relation vectorielle 
.
a. Si
a pour coordonnées
dans et
dans 
alors 
.
1) a. Le nouveau repère ayant pour origine le point
de coordonnées
dans le repère , si
a pour coordonnées
dans et
dans alors 
.
D'où 
.
est un cône de sommet l'origine
du repère et d'axe 
.
1) b. En utilisant la même démarche qu'à la question 1.a/, et en se plaçant dans le repère 
où ,
l'équation de
dans ce repère est 
, équation d'un cône de sommet
et d'axe .
2) Peut-on trouver un plan
parallèle au plan 
qui coupe
et
suivant le même cercle ?
Quelle est l'équation cartésienne du cercle intersection d'un cône d'équation 
par le plan d'équation cartésienne
?
2) Soit
le plan cherché parallèle au plan donc d'équation
.
Soit 
. Le plan
est muni du repère 
.
coupe les cônes
et
suivant les cercles d'équations respectives 
et 
.
Ces deux cercles sont égaux si et seulement si 
, soit 
.
Cette dernière équation a deux solutions :
ou
donc deux plans répondent au problème, les plans d'équation
,
.
Un cône 
admet dans pour équation cartésienne 
.
On appelle 
la courbe représentative de l'intersection de par le plan
d'équation cartésienne
.
1) Déterminer le repère 
du plan
dans lequel est la réunion des deux courbes d'équation 
, 
.
L'intersection d'un cône de sommet
et d'axe par un plan d'équation
est caractérisé par :
Dans , 
.
Intersection d'un cône
Avec un plan d'équation
(
) : c'est une hyperbole
1) Soit
de coordonnées
dans , 
.
D'où si
a pour coordonnées dans
alors dans le plan
muni du repère 
, a pour équation cartésienne 
.
est donc la réunion des deux courbes d'équation , .
2) Soit
la fonction définie par 
pour 
et 
sa représentation graphique dans le repère :
a. Étudier la parité de
.
b. Déterminer 
et montrer que la droite d'équation
est une asymptote de au voisinage de
.
c. Établir le tableau de variation de
sur
. Préciser une équation de l'asymptote de au voisinage de
. Construire .
d. Soit
la fonction définie par 
pour et 
sa représentation graphique dans le repère .
Justifier que est symétrique de par rapport à l'axe 
.
Construire 
.
b. La droite d'équation
est asymptote à la courbe représentative de
d'équation
au voisinage de
si 
.
b. Montrer que 
.
2) a. Pour tout , 
; la fonction
est donc paire.
2) b. 
donc 
et donc 
.
(le changement d'écriture en multipliant par le conjugué est nécessaire car avec l'écriture sous forme de différence il n'est pas possible de conclure sur la limite cherchée).
donc 
.
donc la droite d'équation
est asymptote à au voisinage de
.
2) c. La fonction 
est croissante et strictement positive sur 
et la fonction 
est croissante sur donc la fonction 
est croissante sur et
est croissante sur .
La fonction
étant paire, le tableau de variation de
est donc :
La fonction
étant paire, la droite d'équation
est asymptote à au voisinage de
.
2) d. est la représentation graphique de
dans et pour tout , 
donc 
et est la courbe symétrique de par rapport à l'axe des ordonnées soit .
3) Soit 
et 
deux vecteurs, justifier que si un point
de
a pour coordonnées
dans le repère et
dans le repère 
alors 
.
En déduire une équation de dans le repère .
Dire que
a pour coordonnées
dans le repère et
dans le repère signifie que 
; les coordonnées d'un point dans un repère donné sont uniques.
3) Si
est un point de
, d'où,
Les coordonnées de
dans le repère étant uniques, 
.
D'où l'équation de dans le repère étant 
, dans le repère 
, elle devient 
.
Après simplification, a pour équation dans , 
(équation d'une hyperbole).
Un cône admet dans pour équation cartésienne 
.
1)
a. On appelle le cercle, intersection du cône par le plan
d'équation
; déterminer une équation cartésienne de dans le plan
muni du repère 
où 
.
b. Déterminer une équation cartésienne, dans le plan
muni du repère , de la tangente
à en
,
point d'abscisse
et d'ordonnée positive.
c. Justifier que les droites
et
sont coplanaires et déterminer une équation cartésienne dans du plan
qu'elles déterminent.
b. On se place dans le plan
et
est la tangente en
au cercle d'équation
dans le repère ; on peut calculer les coordonnées de
.
c. Deux droite sécantes de l'espace déterminent un plan ; si 
et 
sont des vecteurs directeurs respectivement de chacune de ces deux droites alors tout vecteur à la fois orthogonal à et à est un vecteur normal à ce plan.
b. Quel rôle joue 
pour
?
1) a. Dans , 
D'où si
a pour coordonnées
, dans le plan
muni du repère 
, a pour équation 
.
1) b. Dans
muni du repère ,
est perpendiculaire à la droite
en
, elle est donc définie par le point
et le vecteur normal 
, elle admet donc une équation cartésienne de la forme 
avec 
soit 
.
1) c. Les droites
et
ont le point
pour point commun et sont distinctes (
), elles déterminent donc un plan unique
.
Dans , le vecteur 
a pour coordonnées
; c'est un vecteur directeur de la droite
.
Dans , le vecteur 
est un vecteur directeur de
.
Soit 
un vecteur orthogonal à et à :
Soit pour
, 
a pour coordonnées
.
Le plan
admet pour vecteur normal ; il a donc une équation cartésienne de la forme 
.
donc
.
a pour équation cartésienne dans ,
.
2) Démontrer que l'intersection du cône par le plan
est défini dans par :
, soit par
représentation paramétrique de la droite
. Le plan
coupe donc le cône suivant la droite
, il est tangent à le long de la génératrice
de .
Quelles sont les conditions vérifiées par les coordonnées
d'un point
, pour que ce point appartienne à et à
?
2) Dans , 
Soit, 
L'intersection du cône et du plan
est défini dans par 
.
Soit 
, 
,
Ce système d'équations paramétrique est celui d'une droite passant par
et de vecteur directeur le vecteur de composantes 
, soit le vecteur 
.
C'est donc une représentation paramétrique de la droite
. Le plan
coupe donc suivant la droite
.
