2) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct .
Soit
un complexe non nul, et distinct de
.
On appelle
,
,
,
et
les points d'affixes
,
,
,
,
, et
le point d'affixe
.
A.
Calculons ,
,
.
Il est facile de vérifier que le centre du cercle circonscrit au triangle
est le point
d'affixe
car les distances
,
et
sont égales à
, et que la point
n'appartient pas à ce cercle car la distance
est égale à
.
B.
C'est à l'évidence la similitude directe d'écriture complexe , donc une similitude directe de centre
, d'angle
, et de rapport
.
C.
Soit le cercle auquel appartiennent
,
,
et
. Ce cercle est le cercle circonscrit au triangle
,
et
.
contient
,
et
.
L'image de par la similitude
d'écriture complexe
passe par les images de
,
et
, donc par
,
et
.
Donc .
Comme
appartient au cercle
, son image
par
appartient au cercle
.
D.
Comme
,
,
et
appartiennent à un même cercle, ce cercle
est sa propre image par la similitude
d'écriture complexe
. Si ce cercle a pour centre
, alors
, ce qui est faux (
, donc le seul point invariant par
est
).
Remarque : l'image d'un cercle de rayon
par une similitude de rapport
est le cercle de rayon
. Donc ici le rapport de la similitude est
.
Il s'ensuit que . On a donc également
,
,
,
,ce qui montre que
.
Les points
,
,
,
et
appartiennent au cercle de centre
et de rayon
.