Enoncé
3) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct 
.
On considère les points 
, 
, et 
et 
.
On désigne respectivement par
,
et
les milieux de 
, 
et 
.
Soit
l'angle de la similitude directe de centre
qui transforme
en
.
est l' image de la droite
par la rotation de centre
et d'angle
.
est l' image de la droite
par la rotation de centre
et d'angle
.
est l' image de la droite
par la rotation de centre
et d'angle
.
est le point d'intersection de
et
, et
celui de
et
.
Résultat
Correction
Explications
A.
L'angle 
est un argument de 
.
Le point
a pour affixe 
.
Par conséquent l'angle vaut 
.
Remarque : le rapport de similitude est 
.
B.
-
appartient à
car l'angle
. Montrons que
appartient à
:
La droite
a pour équation
. Le point
a pour coordonnées
.
L'écriture complexe de la rotation de centre
et d'angle est : 
.
Soit
l'image de
par cette rotation : 
.
Calculons :
Donc 
, ce qui montre que
appartient à l'image de la droite
par la rotation de centre
et d'angle , c'est-à-dire
.
C.
Comme
et
, il existe une similitude directe
transformant
en
et
en
; cette similitude a pour écriture complexe 
, avec 
et 
, donc :
De plus :
L'écriture complexe de la similitude directe transformant
en et
en est
On peut cependant vérifier que
est l'image de
car :
D.
Le centre de la similitude directe
est le point 
, dont l'affixe est solution de :
Ce point n'est pas le milieu de
car 
.