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Enoncé

3) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct .

On considère les points , , et et .

On désigne respectivement par , et les milieux de , et .

Soit l'angle de la similitude directe de centre qui transforme en .

est l' image de la droite par la rotation de centre et d'angle .

est l' image de la droite par la rotation de centre et d'angle .

est l' image de la droite par la rotation de centre et d'angle .

est le point d'intersection de et , et celui de et .

Résultat

Correction

A.

B. est le point d'intersection de et

C. On admet que les points et ont pour affixes et . Il existe une similitude directe transformant en , en , en , et cette similitude a pour écriture complexe

D. Le centre de la similitude directe est le milieu de

Explications

A.

L'angle est un argument de .

Le point a pour affixe .

Par conséquent l'angle vaut .

Remarque : le rapport de similitude est .

B.

  • appartient à car l'angle .

  • Montrons que appartient à :

La droite a pour équation . Le point a pour coordonnées .

L'écriture complexe de la rotation de centre et d'angle est : .

Soit l'image de par cette rotation : .

Calculons :

Donc , ce qui montre que appartient à l'image de la droite par la rotation de centre et d'angle , c'est-à-dire .

C.

Comme et , il existe une similitude directe transformant en et en ; cette similitude a pour écriture complexe , avec et , donc :

De plus :

L'écriture complexe de la similitude directe transformant en et en est

On peut cependant vérifier que est l'image de car :

D.

Le centre de la similitude directe est le point , dont l'affixe est solution de :

Ce point n'est pas le milieu de car .