4) Soit
et
deux entiers naturels premiers entre eux. On considère la suite
définie par
,
et, pour tout
,
. Alors deux termes consécutifs de
sont premiers entre eux.
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Soit la proposition : «
et
sont premiers entre eux ».
est vraie.
Si pour
entier naturel,
est vraie alors
et
sont premiers entre eux et par suite,
et
sont premiers entre eux. Ainsi,
et
sont premiers entre eux donc
est vraie.
Conclusion : pour tout entier naturel
,
est vraie.