3) Soit
,
,
et
quatre entiers non nuls tels que
. On pose
et
.
A.
et
sont premiers entre eux
Il s'agit d'une application directe du théorème de Bézout.
B.
et
sont premiers entre eux
Soit
un diviseur commun à
et
alors
divise
. Ainsi
divise
et
premiers entre eux, donc
.
C.
et
sont premiers entre eux
C'est faux si
.
.
D.
et
sont premiers entre eux
Si
divise
et
, il divise aussi
, donc
divise
. De même,
divise
; or du fait que
et
sont premiers entre eux,
et
sont premiers entre eux, donc
. Ainsi,
.