4) Soit
le
des entiers naturels
et
avec
.
A.
Soit . Si
alors
,
et
sont des entiers naturels non nuls.
Si
divise
et
, alors
divise
et
.
Inversement, si
divise
et
, alors
divise
et
.
Ainsi, les diviseurs communs de
et
sont les diviseurs communs de
et
. D'où
.
B.
Contre-exemple : or
.
C.
Si
divise
et
, alors
divise
et
, combinaisons linéaires à coefficients entiers de
et
.
Inversement, si
divise
et
, alors
divise
et
.
Ainsi, les diviseurs communs de
et
sont les diviseurs communs de
et
. D'où l'égalité des
.
D. est divisible par
divise
et
donc
divise
et
, puis
divise
.