4) Soit le des entiers naturels et avec .
A.
Soit . Si alors , et sont des entiers naturels non nuls.
Si divise et , alors divise et .
Inversement, si divise et , alors divise et .
Ainsi, les diviseurs communs de et sont les diviseurs communs de et . D'où .
B.
Contre-exemple : or .
C.
Si divise et , alors divise et , combinaisons linéaires à coefficients entiers de et .
Inversement, si divise et , alors divise et .
Ainsi, les diviseurs communs de et sont les diviseurs communs de et . D'où l'égalité des .
D. est divisible par
divise et donc divise et , puis divise .