Voir le paragraphe la définition de l'intégrale sur un rectangle.

Solution :

Puisque (les inclusions sont strictes) et que la fonction est strictement positive, on a

Calculer les intégrales doubles sur les disques par un changement de variables en coordonnées polaires. N'oubliez pas le jacobien !

Solution : de manière générale on a

soit

On obtient l'intégrale sur en remplaçant par . L'intégrale sur a été calculée dans la première question.

On fait tendre vers l'infini dans les trois intégrales. En passant

à la limite, les inégalités strictes deviennent des inégalités larges.

Solution :

Puisque les quantités à droite et à gauche sont les mêmes, on en déduit que

d'où le résultat.