Les cas les plus simples sont donnés par des équations différentielles linéaires à coefficients constants
dont le second membre
est
-
soit une fonction polynomiale (
), dans ce cas on cherche comme solution particulière une fonction polynomiale de même degré que
,
-
soit une exponentielle (
), dans ce cas on cherche comme solution particulière une fonction de la forme (
). Si
n'est pas solution de l'équation homogène, alors
est constante.
-
soit une fonction trigonométrique (
et/ou
), dans ce cas on cherche comme solution particulière une fonction trigonométrique (
).
Dans le cas général, en particulier lorsque les coefficients
et
ne sont pas des constantes, on utilise la méthode dite "variation de la constante" (paroxysme !). Elle consiste, à partir de la solution de l'équation homogène
qui s'écrit sous la forme
à considérer alors
comme une fonction de
et à rechercher une solution particulière sous la forme
Écrire alors que
est solution de l'équation avec second membre
et montrer, en exercice, que
est une primitive de
. Comme le but est de calculer une solution particulière, on choisit une primitive particulière
et on obtiendra alors la solution générale de l'équation en faisant la somme de
.