Certaines équations peuvent se présenter sous la forme suivante :
Dans ce cas on dit que l'équation est à variables séparées. Bien entendu, l'équation de départ ne se présente pas toujours sous la forme
mais, si on peut s'y ramener, on dit alors que l'équation est à variables séparables (nuance !).
Les solutions s'obtiennent en prenant des primitives par rapport à
des deux membres de l'équation. Donc si
est une primitive de
, si
est une primitive de
, alors les solutions sont de la forme
.
Un cas particulier des équations différentielles à variables séparables est l'équation différentielle de la forme
Pour se rendre compte que cette équation se ramène à une équation à variables séparables, il faut faire un changement de fonction inconnue :
On obtient alors (le vérifier)
On peut alors avoir des solutions particulières constantes
(voir l'exercice référencé). Pour obtenir les autres solutions, on est ramené à résoudre l'équation différentielle à variables séparables
L'intégration de cette équation permet d'obtenir
en fonction de
. On obtient donc les solutions sous forme paramétrique, de paramètre