Les constantes sont supposées positives. Plus précisément et on suppose qu'il y a au moins un ressort ou un piston, c'est à dire que l'on ne peut avoir .

Etudier le signe du discriminant de l'équation caractéristique correspondante.

Solution : Le discriminant s'écrit . On étudie alors les cas :

• : les solutions sont la combinaison linéaire de deux exponentielles,

• : les solutions sont le produit d'un polynôme du premier degré par une exponentielle,

• : les solutions sont le produit d'une exponentielle par une combinaison linéaire de et .

Regarder le signe des coefficients des exponentielles pour étudier le comportement à l'infini.

• Si , les 2 racines de l'équation caractéristique sont négatives, car leur produit est positif et leur somme est négative, donc tend vers quand tend vers l'infini.

• Si , .

  Si , , donc là encore tend vers quand tend vers l'infini. Le cas , n'est pas possible ici car , il faudrait donc que ce qui n'est pas possible (voir la première aide).

• Si , , si , comme précédemment tend vers quand tend vers l'infini.

  Par contre si , ce qui est possible ici car , est une combinaison linéaire de sinus et cosinus, donc la solution oscille.

On retrouve un résultat bien connu, s'il y a frottement ( ), le mouvement est amorti et la solution tend vers l'état d'équilibre , s'il n'y a pas frottement ( ), le mouvement est oscillant.