Mais entre la découverte d'une propriété : « on observe que certains triangles rectangles vérifient cette propriété », sa généralisation : « il semble que tous les triangles rectangles vérifient cette propriété » et sa démonstration : « il est vrai que tous les triangles rectangles (et eux seuls) dans un plan euclidien vérifient cette propriété », il faut souvent attendre plusieurs siècles.
La première trace écrite figure dans les Éléments d'Euclide. Cependant, les commentaires de Proclos des Éléments d'Euclide (environ 400 ap. J.-C.) semblent indiquer qu'Euclide n'aurait fait que retranscrire une démonstration plus ancienne que Proclos attribue à Pythagore.
C'est donc entre le VIe et le IIIe siècle av. J.-C. que l'on peut dater la démonstration de cette propriété.
On raconte que c'est à cette occasion qu'aurait été découverte l'existence de nombres irrationnels.
En effet, il est facile de construire un triangle rectangle isocèle de côté 1. Alors le carré de l'hypoténuse vaudrait 2. Or, une démonstration simple accessible du temps de Pythagore prouve qu'aucun rationnel n'a un carré égal à 2.
On raconte que cette découverte fut tenue secrète par l'école pythagoricienne sous peine de mort.
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