Rappels d'électrocinétique
Introduction
Il convient, pour introduire le filtrage analogique, de faire quelques rappels de circuits électriques linéaires passifs alimentés par une source sinusoïdale, en régime permanent. Dans de tels circuits, en dehors des sources, les trois dipôles possibles sont résistor, condensateur et solénoïde. Ces trois dipôles sont caractérisés essentiellement par respectivement leur résistance, capacité et inductance.
Remarque :
Quelquefois, par abus de langage, on confond le nom du dipôle et sa caractéristique : ainsi on parlera de capacité indifféremment pour désigner le dipôle et la valeur numérique de sa principale caractéristique en Farad. En toute rigueur, il faudrait dire : « Soit C1, un condensateur de capacité 10 nF... ». Dans la pratique, on trouvera souvent : « Soit C1, une capacité de 10 nF... ». Il en va de même pour la confusion résistor et résistance, d'une part et solénoïde et inductance, d'autre part. Il faut être prudent parce que le modèle physique réaliste d'un solénoïde est une inductance pure en série avec une résistance. Avec un peu de pratique, les choses s'éclaircissent et il faut une certaine capacité à comprendre un discours avec ses abus de langage parce que ça correspond aux usages professionnels, la rigueur de langage du puriste n'étant pas très compatible avec le langage de tous les jours.
En régime sinusoïdal permanent, toutes les grandeurs électriques, courants et tensions oscillent à la pulsation de la source et s'écrivent : 
ou 
. Le choix d'une fonction sinus ou cosinus est arbitraire : selon le choix qui est fait, la phase à l'origine sera modifiée, les fonctions sinus et cosinus étant identiques à une phase près. Il en va de même pour les courants : 
ou 
.
Résoudre un circuit électrique linéaire en régime sinusoïdal permanent alimenté par une source, par exemple : 
correspond donc à déterminer pour chaque dipôle la tension à ses bornes et le courant qui le traverse, chaque grandeur étant caractérisée par son amplitude et sa phase.
Remarque :
En réalité, quand on ferme l'interrupteur dans un tel circuit, le régime permanent est précédé d'un régime transitoire éventuellement assez compliqué, de durée très variable. Nous n'étudierons, dans la suite, que le régime permanent à l'aide de la représentation complexe. Dans un tel régime permanent, le circuit a été établi (l'interrupteur fermé) depuis suffisamment longtemps pour pouvoir considérer que le régime transitoire a disparu. Toutes les grandeurs électriques oscillent donc à la pulsation de l'alimentation supposée sinusoïdale avec néanmoins un déphasage les unes par rapport aux autres. Il pourra être utile au lecteur de revoir l'établissement du régime transitoire, ce qui se fait par résolution de l'équation différentielle homogène, c'est-à-dire l'équation différentielle dans laquelle on a annulé le terme de source. Cette question est toutefois en dehors du programme de ce module et ne sera pas abordée plus avant.
Impédance complexe
La méthode de résolution est basée sur la représentation complexe des grandeurs électriques. La justification de cette représentation complexe est aisée et dans la mesure où elle se traduit par une manipulation calculatoire systématique, il convient essentiellement d'en retenir la recette.
Une grandeur sinusoïdale instantanée, par exemple 
, est substituée dans la recette par la grandeur complexe correspondante : 
où j est l'imaginaire pur avec 
(on n'utilise pas la lettre i pour ne pas confondre avec une intensité).
L'intérêt premier de la représentation complexe correspond au fait que la dérivation, respectivement l'intégration devient multiplication, respectivement division, par 
. La difficulté de manipuler des expressions instantanées lourdes avec des transformations trigonométriques fastidieuses est remplacée par une manipulation aisée de quantités complexes (au sens des nombres complexes).
Pour s'approprier la recette, nous commençons par définir les impédances complexes des trois dipôles linéaires et nous les utilisons ensuite dans des circuits paradigmatiques qui vont fonder le reste de ce chapitre.
La résistance :
La loi d'Ohm, pour une résistance est valable en valeurs instantanées : 
et la relation devient en représentation complexe :
.
L'impédance, complexe dans le cas général, définie comme le rapport tension sur courant, en représentation complexe, est donc dans le cas d'une résistance tout simplement R, réel.
Le condensateur de capacité C :
Les lois de l'électromagnétisme définissent la capacité par la relation instantanée entre la charge sur les plaques du condensateur et la tension à ses bornes (au moins aux fréquences pas trop grandes) : 
soit 
(en convention récepteur) qui devient en complexe 
par dérivation par rapport au temps de la tension en représentation complexe : .
Il vient que l'impédance complexe du condensateur s'écrit : 
L'inductance L :
La loi de Faraday dans le cas du phénomène d'auto-induction aux bornes d'un solénoïde conduit à la relation instantanée (en convention récepteur) : 
qui devient en représentation complexe :
par dérivation du courant en représentation complexe : 
.
Il vient que l'impédance complexe de l'inductance s'écrit : 
.
