Sous-groupe multiplicatif des entiers modulo n
Nous avons vu que
est un groupe quand
est un nombre premier. Cliquez sur des éléments de
pour observer le sous-groupe engendré dans
. Les éléments choisis sont marqués en rouge et le sous-groupe multiplicatif engendré en bleu.
Les générations successives sont données,
sont les éléments choisis et
sont leurs composés successifs jusqu'à stabilisation.
Exemple : -1 x -1 = +1
Cliquez sur
et remarquez qu'il engendre le sous-groupe trivial réduit à l'unique élément
.
Cliquez sur
et remarquez que le sous-groupe engendré par
, ne contient que deux éléments, 1 et
.
Vous pouvez remonter plus loin en cherchant, sur la diagonale, les racines carrées de
, si elles existent, elles formeront avec 1 et
un petit groupe à quatre éléments.
Pour de grands
, la recherche des racines successives de l'élément neutre est intéressante et donne de riches informations arithmétiques sur l'entier
.
