Sous-groupes de (Z,+)
Dans cette appliquette, vous pouvez étudier les sous-groupes de
engendrés par certains éléments que vous choisissez en cliquant dessus et qui sont alors marqués en rouge. Toutes leurs combinaisons linéaires entières sont alors affichées en bleu, ce sont les éléments du sous-groupe engendré. Nous n'en voyons bien-sûr qu'une partie finie.
En choisissant
par exemple, vous obtenez le sous-groupe additif des nombres pairs. En choisissant 8 et 12 par exemple, on obtient les multiples de 4, leur Plus Grand Commun Diviseur.
Exemple : Le sous-groupe nul et le groupe entier
Si vous cliquez sur
, vous verrez qu'il forme un groupe à lui tout seul, le sous-groupe nul.
Si vous cliquez sur
, vous observerez qu'il engendre
tout entier : tous les entiers sont multiples de l'unité.
Les sous-groupes de (Z,+) sont cycliques
Remarquez que, même si vous choisissez plusieurs éléments pour générer un sous-groupe "compliqué" de
, vous obtenez finalement un groupe qui est généré par un unique élément (que vous n'aviez pas forcément choisi), c'est leur Plus Grand Commun Diviseur.
Si après avoir choisi un élément, vous cliquez sur un deuxième élément déjà dans le sous-groupe, vous observez que cela ne modifie pas le sous-groupe engendré.
