Exemple

Soit la fonction définie par si et .

Dans toute boule de centre , il existe des points de la forme avec , donc tels que qui ne tend pas vers quand tend vers .

Donc la fonction n'est pas continue en , donc elle n'est pas différentiable en .

Pourtant les fonctions et sont dérivables en , donc la fonction admet des dérivées partielles nulles en .

Sur , la fonction admet des dérivées partielles : et .

On peut donc en déduire que ces dérivées partielles ne sont pas continues en .