D'après l'une des identités de polarisation :
.
Donc si
est associée à un produit scalaire, il est unique.
Et son expression est :
.
Donc
est associée à un produit scalaire si et seulement si l'application
est un produit scalaire.
Il faut donc que l'application
soit une forme bilinéaire, symétrique, définie et positive et que la norme associée soit
.
La symétrie est évidente.
, donc :
et :
.Donc :
, donc :
.Donc la forme
est définie et positive, et la norme associée est
.Le seul problème est donc la bilinéarité de
.
Conclusion : La norme
est associée à un produit scalaire si et seulement si l'application
est bilinéaire.
