Exo 17
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
une suite réelle, positive et bornée.
On considère la suite
définie par
et
.
Question
Montrer que la suite
converge si et seulement si la suite
converge.
Démontrez successivement les deux implications.
Si
converge, exprimez
en fonction de
et
pour montrer la convergence de
.
Si
converge, déterminez la seule limite possible
de
, puis montrez que
tend vers
.
Une récurrence évidente montre que :
.
On démontre successivement les deux implications.
On suppose que la suite
converge.
Soit :
et donc :
.
Si
, on aurait :
, donc :
.
Or ceci n'est pas possible car la suite
est bornée. Donc :
.
Or :
.
Donc la suite
converge vers
.
On suppose que la suite
converge.
Soit :
et donc :
.
Si la suite
converge, sa limite est solution de l'équation :
, donc de l'équation :
.
Le discriminant est :
(
). Donc l'équation a deux racines réelles distinctes.
Ces deux racines sont de signes contraires car leur produit est
.
Or :
. Donc si la suite
converge, sa limite est la racine positive de l'équation.
Montrons donc que
converge vers :
.
On a :
. Donc :
.
Donc :
.
Donc :
car
.
Or :
, donc :
.
Donc :
.
Donc :
.
Donc par récurrence :
.
Soit
. On sait que :
. Donc :
.
Or :
donc :
.
Et
, donc :
, donc :
.
Donc :
.
Donc la suite
converge vers
.
Conclusion : La suite
converge si et seulement si la suite
converge.