Suites numériques

Exo 16

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

On considère la suite de terme général : .

Question

Démontrer que : .

Indice

Trouvez une relation entre et , puis raisonnez par récurrence.

Solution

On raisonne par récurrence.

Initialisation : La propriété est vraie pour car .

Hérédité : Soit tel que : .

.

Donc : .

Or : , donc , donc .

Donc : .

Conclusion : .

Question

Démontrer que : .

Indice

Utilisez la question précédente pour encadrer par deux termes équivalents.

Solution

Pour tout entier , on a : , donc : .

Or : , donc : , donc : .

Conclusion : .

Question

Déterminer la limite de lorsque n tend vers l'infini.

Indice

Exprimez en fonction de et , puis utilisez la question précédente.

Solution

Pour tout , on a : .

Or : , donc et , donc .

Conclusion : .

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