Exercice 14
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
un espace vectoriel euclidien de dimension
.
Soient
et
deux projecteurs orthogonaux de
.
Question
Question
Démontrer que toute valeur propre
de
est valeur propre de
.
Et démontrer que les sous-espaces propres associés vérifient :
.
Remarquez que tout vecteur propre de
appartient à
.
Soit
une valeur propre non nulle de
et
un vecteur propre associé.
Donc :
. Donc :
. Donc :
.
Donc :
. Donc :
.
Donc
est valeur propre de
et
est un vecteur propre associé.
Conclusion : Toute valeur propre
de
est valeur propre de
et
.
Question
Question
En déduire que
est diagonalisable.
Démontrez que
est somme directe des sous-espaces propres.
N'oubliez pas que
peut être valeur propre !
Soient
, ...,
les valeurs propres non nulles de
.
Donc
, ...,
sont valeurs propres de
et :
.
Et :
.
Donc
est valeur propre de
si et seulement si
est valeur propre de
.
Et les sous-espaces propres
et
ont la même dimension.
Or
est diagonalisable. Donc :
.
Donc :
. Donc :
.
Or
, ...,
et éventuellement
sont des valeurs propres distinctes de
, donc les sous-espaces propres sont en somme directe.
Donc :
.
Donc :
.
Donc, avec la première inégalité :
.
Donc :
et
a pour seules valeurs propres
, ...,
et éventuellement
.
Conclusion : L'endomorphisme
est diagonalisable.
