Exercice 13
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
.
On pose :
.
Question
Montrer que l'application
est un produit scalaire sur
.
De manière évidente,
est une forme symétrique et bilinéaire par linéarité de l'intégration et de la dérivation.
, donc :
De plus les fonctions
et
sont continues sur
, donc la fonction
est continue et garde un signe constant sur
.
Donc l'intégrale est nulle si et seulement si la fonction
est nulle, donc :
.
Conclusion : L'application
est un produit scalaire sur
.
Question
Déterminer la projection orthogonale
sur
.
Déterminez une base du sous-espace vectoriel
et en déduire son orthogonal.
Soit
et
. Donc
et
appartient à
.
est l'ensemble des solutions de l'équation différentielle
, donc admet comme base les fonctions
:
et
:
.
, donc
, donc il existe
tel que :
.
Et
, donc :
et
.
Donc :
et
.
Or par intégration par parties :
et :
.
Donc :
et
.
Donc
si et seulement si :
, donc si
.
Or :
.
Donc
si et seulement si :
et
.
Donc
si et seulement si :
et
.
Donc :
.
Conclusion : La projection orthogonale sur
est l'application qui à la fonction
associe la fonction
définie par
.
Question
Pour tout
, on définit l'ensemble
.
Déterminer
.
Démontrez que toutes les fonctions
ont même projeté orthogonal
sur
.
On peut remarquer que :
.
est une partie non vide de
car elle contient par exemple la fonction :
.
Donc
est une partie non vide de
minorée par
. Elle admet donc une borne inférieure
.
Or, par projection orthogonale sur
:
avec
et
.
On a :
.
Donc toutes les fonctions
ont même projeté orthogonal
sur
.
D'après le théorème de Pythagore :
, donc
.
Et il y a égalité si
. Or
et
. Donc :
.
Donc le minimum cherché est :
.
Or :
donc
.
Donc :
.
Donc :
.
Donc :
.
Conclusion : Le minimum est
.
