Exo 5
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
une matrice de
telle que
.
Question
Démontrer que
.
Déterminez la forme de son polynôme caractéristique.
, donc le polynôme
est un polynôme annulateur de
.
Donc les valeurs propres de
sont racines du polynôme
.
Or :
a pour racines
et
.
Or :
, donc
. Et
.
Donc le polynôme
a une seule racine réelle
.
Donc le polynôme
a une racine réelle
et deux racines complexes conjuguées
et
(non nulles). Et donc
.
Donc le polynôme caractéristique de
est :
avec
.
Or
est une matrice réelle, donc son polynôme caractéristique est réel. Donc
.
Donc :
.
Or
, donc :
.
Conclusion :
.
