Exo 4
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
une suite de réels.
Question
Déterminer les valeurs propres de la matrice
pour
.
Déterminez par récurrence le polynôme caractéristique de la matrice.
Soit
le polynôme caractéristique de la matrice
:
.
.
.
.
Montrons par récurrence que :
.
Initialisation : Elle est déjà faite.
Hérédité : Soit
tel que
.
. On développe suivant la première colonne.
.
Donc :
.
Donc :
.
Conclusion :
.
Conclusion :
si
, et
.
Question
En déduire que le rang de
.
Le rang dépend de la dimension du noyau, sous-espace propre associé à la valeur propre 0.
Si
, alors
, donc
.
Si
et
, alors
.
Sinon,
, donc
, donc
et
.
Donc les trois valeurs propres
,
et
sont distinctes.
Donc les sous-espaces propres sont en somme directe. Or
, donc
.
Or
. Donc
, donc
.
Si
, tous les déterminants extraits d'ordre
sont nuls car ils sont tous de la forme
, ou
, ou
, ou
. Donc
.
Conclusion :
-
si
.
-
si
et
.
dans les autres cas.
