Exo 12
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient
et
deux endomorphismes d'un espace vectoriel
de dimension
tels que
.
Question
Montrer que
est nilpotente.
Exprimez
, puis déterminez par récurrence une relation entre les puissances de
et
.
Ensuite, interprétez la relation obtenue en termes de valeurs propres.
Il s'agit de montrer qu'il existe une puissance de
qui est nulle. Donc étudions les différentes puissances de
.
.
Donc :
. Donc :
.
Montrons par récurrence que, pour tout entier
:
.
Initialisation : Elle a déjà été faite.
Hérédité : Soit
tel que
.
Donc :
. Donc :
.
Donc :
.
Conclusion :
.
Soit
l'application qui à tout
associe l'endomorphisme
.
On vérifie facilement que cette application
est un endomorphisme de
.
D'après ce qui précède :
. Donc si
,
est valeur propre de
.
Or
. Donc
a au plus
valeurs propres.
Donc il existe au plus
puissances de
qui sont non nulles. Donc il en existe une qui est nulle.
Conclusion : L'application
est nilpotente.
Question
Si
, quelle est la dimension du noyau de
si
.
Etudiez la suite de terme général :
.
Soit
le plus petit entier tel que
. Donc
si
et
si
.
Donc
si
et
si
. Soit
.
Pour tout entier
:
, donc :
.
Donc :
. Donc la suite
est croissante.
Supposons que :
. Donc :
.
Soit
, donc
, donc
, donc
.
Donc
, donc
, donc
, donc
.
Donc
, donc
. Or la suite
est croissante. Donc
.
Donc s'il existe
tel que
, alors
. Donc
.
Donc la suite
est strictement croissante jusqu'au rang
, puis stationnaire.
De plus, pour tout
:
, donc
, donc
.
Donc
. Donc le sous-espace
est stable par
.
Donc on peut considérer la restriction
de
à
. On a :
.
Or :
, donc
, donc
.
Et :
, donc
, donc
.
Donc :
. Or
est un entier, donc
si
.
Donc :
car
. Or :
. Donc :
.
Conclusion :
et
.
