Exo 3
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Soit un entier
. Déterminer les matrices de
qui commutent avec toutes les matrices symétriques.
Utilisez la base canonique
de
.
Commencez par exprimer le produit
de deux vecteurs de la base.
Vous en déduirez ensuite les produits
et
d'une matrice
par un des vecteurs de la base.
Remarquez que les matrices
sont symétriques.
Préliminaire
Soit
la base canonique de
.
Soient
donc
, et
donc
.
avec
. Donc :
si
ou
.
Et :
a un seul terme non nul
, donc
.
Donc
si
, et
.
Donc, si
, alors
et
.
Solution
Soit
une matrice qui commute avec toutes les matrices symétriques.
Donc en particulier :
.
Donc :
.
Donc :
.
Donc :
.
Donc par unicité des coordonnées dans la base canonique :
si
:
, donc
si
ou
.Donc la matrice
est diagonalesi
:
, donc
.Donc il existe un complexe
tel que
.
La réciproque est évidente.
Conclusion : Les matrices qui commutent avec toutes les matrices symétriques sont les matrices de la forme
où
.
Question
Déterminer les matrices de
qui commutent avec toutes les matrices antisymétriques.
Utilisez la base canonique
de
.
Remarquez que les matrices
sont antisymétriques.
Soit
une matrice qui commute avec toutes les matrices antisymétriques, donc en particulier avec toutes les matrices
si
.
Donc :
.
Donc :
.
Donc :
.
Donc par unicité des coordonnées dans la base
:
si
et
:
et
.si
et
:
et
.Donc la matrice
est diagonale.-
.
Donc il existe un complexe
tel que
.
La réciproque est évidente.
Conclusion : Les matrices qui commutent avec toutes les matrices antisymétriques sont les matrices de la forme
où
.
