Exo 12
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Les questions suivantes sont indépendantes.
Question
Démontrer que la famille de polynômes définis par :
pour tout
forme une base de
.
Démontrez que c'est une famille génératrice en utilisant la formule de Taylor.
On utilise la formule de Taylor :
si
.
Tout polynôme
de
s'écrit :
avec
.
Donc la famille
est une famille génératrice de
qui contient
vecteurs. Or :
.
Conclusion : La famille
est une base de
.
Remarque :
On aurait pu aussi démontrer que la famille de polynômes est une famille libre.
Pour tout entier
:
. On a donc une famille de polynômes dont les degrés sont « échelonnés ».
Donc, lorsque l'on écrit que tous les coefficients du polynôme
sont nuls, on démontre de proche en proche que
, puis
, ..., puis
.
Donc la famille
est libre.
Question
Soient
et
deux réels distincts. Démontrer que la famille de polynômes définis par :
pour tout
forme une base de
.
Démontrez que c'est une famille libre en raisonnant par l'absurde.
Soit
une famille de réels telle que :
.
Supposons que les
ne soient pas tous nuls et soit :
.
Donc :
.
Donc :
avec
.
Donc :
. Or
. On aboutit donc à une contradiction.
Donc les
sont tous nuls.
Donc la famille
est une famille libre de
qui contient
vecteurs. Or :
.
Conclusion : La famille
est une base de
.
