Espaces vectoriels de dimension finie
Définition :
Si un espace vectoriel
a une famille génératrice finie, il possède au moins une base et toutes ses bases ont le même nombre
de vecteurs.
Ce nombre
s'appelle la dimension de
:
.
Et par convention :
.
Exemple :
est un espace vectoriel de dimension finie et
.
Sa base canonique est :
,
, ...,
.
est un espace vectoriel de dimension finie et
.
Sa base canonique est
.
est un espace vectoriel de dimension finie et
.
Sa base canonique est formée par les matrices
dont tous les termes sont nuls sauf le terme de la
ème ligne et de la
ème colonne qui vaut
.
Par contre, par exemple, l'espace vectoriel
des polynômes sur
n'est pas de dimension finie.
Fondamental :
Propriétés des familles de vecteurs dans un espace vectoriel
de dimension
:
Toute base de
a
vecteurs.
Toute famille libre de
a au plus
vecteurs.
Toute famille génératrice de
a au moins
vecteurs.
Toute famille libre de
vecteurs de
est une base de
.
Toute famille génératrice de
vecteurs de
est une base de
.
Toute famille libre de
peut être complétée en une base de
(Théorème de la base incomplète)
De toute famille génératrice de
, on peut extraire une base de
.
Fondamental :
Propriétés des sous-espaces vectoriels dans un espace vectoriel
de dimension finie :
Si
est un sous-espace vectoriel de
:
(Il y a égalité si et seulement si
).
Si
et
sont des sous-espaces vectoriels de
:
.
Deux sous-espaces
et
sont supplémentaires si et seulement si :
et
.
Définition :
Le rang d'une famille de vecteurs
est :
.