Arithmétique

Exo 14

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

On considère un triangle rectangle dont les longueurs , et des trois côtés sont des nombres entiers.

Les entiers , et sont donc solutions de l'équation : .

On suppose d'abord que et sont premiers entre eux.

Question

Démontrer que : et .

Indice

Raisonnez par l'absurde.

Solution

Montrons que en raisonnant par l'absurde.

Supposons que . Donc il admet un diviseur premier .

Et divise et , donc divise et , donc divise .

Or est premier, donc divise , donc est un diviseur premier de et de .

Or et sont premiers entre eux. On aboutit donc à une contradiction.

Donc : .

Les entiers et jouent des rôles symétriques. Donc : .

Conclusion : Si , alors et .

Question

Démontrer que et n'ont pas la même parité.

Indice

Raisonnez par l'absurde.

Solution

Comme et sont premiers entre eux, ils ne peuvent pas être tous les deux pairs.

Supposons que et soient tous les deux impairs. Donc et sont impairs.

Donc est pair, donc est pair, donc est divisible par .

Or, si et , alors : n'est pas divisible par 4.

On aboutit donc à une contradiction. Donc et ne sont pas tous les deux impairs.

Conclusion : Si , alors et sont de parité différentes.

On supposera dans la suite que est impair et que est pair.

Question

Démontrer qu'il existe deux entiers et premiers entre eux tels que : .

Indice

Factorisez .

Solution

Comme et jouent des rôles symétriques, on peut supposer impair et pair.

Donc est impair et est pair, et donc est impair, donc est impair.

Donc est le produit de deux nombres pairs.

Donc il existe deux entiers et tels que : , donc : et .

Le PGCD de et divise et , donc divise et . Or : , donc : .

Conclusion : Si , alors il existe deux entiers et premiers entre eux tels que : .

Question

En déduire qu'il existe deux entiers et premiers entre eux tels que : .

Indice

Démontrez que et sont des carrés en utilisant leur décomposition en facteurs premiers.

Solution

, donc est un carré : .

Soit un diviseur premier de . Donc divise , donc divise , donc divise .

Or , donc et n'ont pas de diviseur premier commun.

Donc ne divise pas , donc est premier avec , donc divise .

Donc, dans la décomposition en facteurs premiers de , tous les facteurs ont une puissance paire.

Donc est un carré. Donc il existe un entier tel que : .

et jouent des rôles symétriques, donc il existe un entier tel que .

Le PGCD de et divise et , donc il divise et . Or : .

Donc : . Donc et sont premiers entre eux.

Conclusion : Si , alors il existe deux entiers et premiers entre eux tels que : .

Question

En déduire, dans le cas général, tous les triplets tels que .

Indice

Ramenez-vous au cas où et sont premiers entre eux.

Solution

Soit tels que : et soit .

Donc il existe des entiers et tels que , et .

Donc . Donc divise , donc divise , donc il existe un entier tel que : .

Donc l'équation équivaut à avec .

On retrouve donc le problème déjà étudié.

Conclusion : Les triplets solutions sont de la forme où , et sont des entiers naturels avec .

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