Exo 13
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Déterminer tous les couples
d'entiers naturels non nuls tels que :
.
Si
, introduisez
et démontrez que
.
Il est évident que si
, l'équation est vérifiée. Tout couple
est solution.
Cherchons les autres solutions, donc avec
.
On peut remarquer que, si
est solution, alors
est aussi solution.
On cherche donc les solutions telles que
. Soit :
.
Donc il existe deux entiers
et
tels que :
,
,
et
.
Ils vérifient :
, donc :
, donc :
, donc :
.
Ils vérifient donc :
. Donc
divise
.
Or
, donc
. Donc :
. Donc :
.
Donc :
, et donc :
. Or :
. Donc :
.
L'équation devient :
, donc :
, donc :
. Donc :
.
Donc :
. Donc :
.
Donc :
. Or
et
. Donc :
. Donc :
.
Or, si
:
, donc :
.
C'est contradictoire, donc :
. On obtient donc :
et
qui vérifient bien l'équation.
Donc le couple
est l'unique solution telle que
. Par symétrie, le couple
est l'unique solution telle que
.
Conclusion : Les solutions sont les couples
et
, ainsi que tous les couples
où
est un entier naturel non nul.
