Exo 4
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Déterminer, suivant les valeurs de l'entier
, le PGCD de
et
.
Démontrez que si
, alors
même si
n'est pas le reste de la division de
par
.
Appliquez ce résultat à
et
.
Remarque :
Si
, alors
divise
et
, donc divise
. Donc
divise
.
Inversement,
divise
et
, donc divise
. Donc
divise
.
Donc si
, alors :
.
La propriété est vraie même si
n'est pas le reste de la division de
par
.
Soit
le PGCD de
et
.
Or :
.
Donc :
. Donc :
.
Or :
. Donc :
.
Effectuons la division de
par
:
avec
.
Si
, alors
et
, donc
, donc
.
Si
, alors
, donc
.
Si
, alors
, donc
.
Si
, alors
, donc
.
Si
, alors
, donc
.
Si
, alors
, donc
.
Conclusion :
s'il existe un entier
tel que
ou
.
s'il existe un entier
tel que
ou
.
s'il existe un entier
tel que
.
s'il existe un entier
tel que
.
