Exo 9
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Démontrer que l'ensemble
des matrices de
de la forme
muni de l'addition et de la multiplication des matrices est un anneau non commutatif.
Pour faciliter les calculs, remarquez que
a une structure d'espace vectoriel et déterminez une famille génératrice de
.
est une partie non vide de l'anneau
.
L'élément neutre
de
pour la multiplication appartient à
car
.
De manière évidente :
.
Donc :
.
Toute matrice
de
s'écrit
en définissant les matrices :
,
,
et
.
On vérifie facilement que :
et que
.
On en déduit que :
et
.
Donc :
.
Donc
est un sous-anneau de
.
donc la multiplication n'est pas commutative.
Conclusion :
est un anneau non commutatif.
Question
Déterminer le centre de cet anneau, c'est-à-dire l'ensemble des éléments de
qui commutent avec tous les éléments de
.
Utilisez la famille génératrice précédente.
Remarquons d'abord que :
.
Une matrice
appartient au centre de
si :
.
En particulier :
donc :
.
Donc :
, donc
.
Et
, donc
, donc
, donc
.
Donc, si une matrice
appartient au centre de
, alors :
.
La réciproque est évidente puisque
commute avec toutes les matrices.
Conclusion : Le centre de
est l'ensemble des matrices de la forme
où
est un réel.
Question
Déterminer les éléments inversibles de cet anneau.
Calculez
et trouvez un polynôme annulateur de
.
En remarquant que
et que
:
.
Donc si
, alors :
.
Si
, alors
et donc
.
Conclusion : Toute matrice non nulle de
est inversible et
.
Complément :
L'ensemble
est un corps non commutatif (ou gauche) appelé corps des quaternions.
C'est une extension du corps des complexes puisque l'on peut définir un isomorphisme entre le corps des complexes et l'ensemble des matrices
.
