Exo 7
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Pour tout
tel que
, on définit l'ensemble :
.
Question
Montrer que l'ensemble
muni de l'addition et de la multiplication est un corps.
Montrez que
est un sous-corps de
.
est une partie non vide de
.
Soient
et
deux éléments de
.
Donc :
et
. Donc :
.
Comme
, on a :
.
Donc si
, alors
ou
. Et
car
.
Donc si
:
.
Or
et
appartiennent à
. Donc
.
Donc
est un sous-corps de
.
Conclusion :
est un corps.
Question
Existe-t-il un isomorphisme de corps entre
et
?
Calculez
si
est un isomorphisme et le comparer à
.
Supposons qu'il existe un isomorphisme
entre
et
.
Donc :
et
.
Et
. Donc :
. Or :
.
Or
. Donc il existe
tel que
.
Donc :
. Donc :
.
Or
. Donc :
. Donc :
ou
.
Or
et
ne sont pas rationnels. Donc ces systèmes n'ont pas de solution.
Conclusion : Il n'existe pas d'isomorphisme de corps entre
et
.
Question
A quelle condition existe-t-il un isomorphisme de corps entre
et
?
Démontrer que
si
est un isomorphisme et en déduire
.
Supposons qu'il existe un isomorphisme
entre
et
.
Donc :
et
.
On a :
,
,
, et par récurrence :
.
Donc :
, donc :
, donc :
.
Or
. Donc il existe
tel que :
.
Donc :
, donc :
. Donc :
.
Ensuite, le raisonnement est le même que dans la question précédente.
. Donc il existe
tel que :
.
. Donc :
.
Or
. Donc :
. Donc :
ou
.
Or
. Donc le système n'a de solution que si
.
Réciproquement, si
, il existe un rationnel
tel que
.
Donc :
.
Donc il y a évidemment un isomorphisme entre
et
: l'identité.
Conclusion : Il existe un isomorphisme de corps entre
et
si et seulement si
, donc si
.
