Exo 1
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
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Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Dans l'ensemble
, étudier la loi
définie par :
.
Déterminez les propriétés de cette loi, les éléments inversibles, les éléments réguliers et les éléments absorbants.
La loi
est évidemment interne et commutative.
Etudions son associativité :
.
Et :
.
Donc la loi
est associative.
Cherchons s'il existe un élément neutre
. Il doit vérifier :
, donc
, donc
.
Donc la loi
possède un élément neutre
.
Un réel
est symétrique d'un réel
pour la loi
si et seulement si
, donc si
, donc si
.
Tout réel
admet un symétrique
. Mais
n'admet pas de symétrique.
Cherchons les éléments réguliers pour la loi
. Soit un réel
. Pour tous réels
et
, on a
si et seulement si
, donc si
. Ceci équivaut à
si et seulement si
.
Tout réel
est un élément régulier pour la loi
.
Un réel
est absorbant pour la loi
si :
, donc si
, donc si
.
Il y a un seul élément absorbant pour la loi
: le réel
.
