Loi de composition interne
Définition :
Une loi de composition interne sur un ensemble
est une application de
dans
:
.
Définition :
Propriétés :
La loi est commutative si :
.La loi est associative si :
.Un élément
est élément neutre de la loi si :
. S'il existe, il est unique.Un élément
est symétrique (ou inverse) d'un élément
si :
. S'il existe, il est unique.Une loi
est distributive à gauche par rapport à une loi
si :
.Une loi
est distributive à droite par rapport à une loi
si :
.Un élément
est régulier à gauche si :
.Un élément
est régulier à droite si :
.Un élément
est absorbant si :
.
Remarque :
Tout élément inversible est un élément régulier et ne peut pas être absorbant si
.
Exemple :
Dans l'ensemble
des entiers naturels :
L'addition est interne, commutative, associative, a pour élément neutre
.-
est le seul élément inversible pour l'addition.
Tout entier est régulier pour l'addition.
La multiplication est interne, commutative, associative, a pour élément neutre
. -
est le seul élément inversible pour la multiplication.
Tout entier non nul est régulier pour la multiplication.
-
est un élément absorbant pour la multiplication.
La multiplication est distributive par rapport à l'addition.
Définition :
Soient
et
deux ensembles munis chacun d'une loi de composition interne.
Une application
de
dans
est un morphisme si :
.
Un isomorphisme de
dans
est un morphisme bijectif de
dans
.
Un automorphisme de
est un morphisme bijectif de
dans
.
Exemple :
L'application
est un isomorphisme de
dans
car :
.
