Exo 4
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Question
Dans un jeu de 32 cartes, calculer le nombre de mains de
cartes avec au moins un valet.
Calculez le cardinal du complémentaire.
Le complémentaire est l'ensemble
des mains de
cartes contenant
valet, donc prises parmi
cartes.
Son cardinal est donc :
.
Donc :
.
Conclusion : Il y a
mains de
cartes avec au moins un valet.
Remarque :
Il y avait une autre méthode : réaliser une partition de l'ensemble en comptant les mains avec
valet et
autres cartes, puis les mains avec
valets et
autres cartes, puis les mains avec
valets et
autres cartes, puis les mains avec
valets et
autre carte.
Dans le cas présent, c'était beaucoup plus long. Cependant, dans d'autres cas, ce sera le contraire.
Donc, avant de commencer, il faut réfléchir et choisir entre un ensemble et son complémentaire celui qui nécessite le moins de calculs.
Question
Dans un jeu de 32 cartes, calculer le nombre de mains de
cartes avec au plus un valet.
Une main contient au plus un valet si elle en contient
ou
.
Une main contient au plus un valet si elle en contient
ou
, donc l'ensemble
des mains contenant
valet, et l'ensemble
des mains contenant
valet constituent une partition de l'ensemble demandé. Donc :
.
On a déjà vu que :
.
Pour déterminer le cardinal de
, on doit choisir
valet parmi
, puis
cartes complémentaires qui ne sont pas des valets, donc prises parmi
cartes.
Ces choix sont indépendants les uns des autres (construction d'un arbre). Donc :
.
Donc :
.
Conclusion : Il y a
mains de
cartes avec au plus un valet.
Question
Dans un jeu de
cartes, calculer le nombre de mains de
cartes avec
cœurs et
piques.
Les choix des cœurs et des piques sont indépendants les uns des autres.
On doit choisir
cœurs parmi
, puis
piques parmi
.
Ces choix sont indépendants les uns des autres (construction d'un arbre).
Donc, on obtient :
.
Conclusion : Il y a
mains de
cartes avec
cœurs et
piques.
Question
Dans un jeu de
cartes, calculer le nombre de mains de
cartes avec
trèfles.
N'oubliez pas que l'on tire
cartes, donc
trèfles et ...
On doit choisir
trèfles parmi
, puis
cartes complémentaires qui ne sont pas des trèfles, donc parmi
cartes.
Ces choix sont indépendants les uns des autres (construction d'un arbre).
Donc, on obtient :
.
Conclusion : Il y a
mains de
cartes avec
trèfles.
Question
Dans un jeu de
cartes, calculer le nombre de mains de
cartes avec
rois et
dames.
N'oubliez pas que l'on tire
cartes !
On doit choisir
rois parmi
, puis
dames parmi
, puis
carte complémentaire qui n'est ni un roi ni une dame, donc parmi
cartes.
Ces choix sont indépendants les uns des autres (construction d'un arbre).
Donc, on obtient :
.
Conclusion : Il y a
mains de
cartes avec
rois et
dames.
Question
Dans un jeu de
cartes, calculer le nombre de mains de
cartes avec
rois et
cœurs.
Attention ! Le problème est différent car les choix des rois et des cœurs ne sont pas indépendants.
Cette fois, le problème se complique car les choix des rois et des cœurs ne sont pas indépendants puisqu'il peut y avoir le roi de cœur.
On réalise donc une partition de l'ensemble des mains de
cartes avec
rois et
cœurs en définissant :
l'ensemble
des mains avec le roi de cœur : on choisit le roi de cœur, puis
roi parmi les
autres rois, puis
cœur parmi les
autres cœurs, puis
cartes complémentaires parmi les
cartes autres que les rois et les cœurs. Donc :
.
l'ensemble
des mains sans le roi de cœur : on choisit
rois parmi les
rois autres que le roi de cœur, puis
cœurs parmi les
cœurs autres que le roi de cœur, puis
carte complémentaire parmi les
cartes autres que les rois et les cœurs.Donc :
.
Et
.
Conclusion : Il y a
mains de
cartes avec
rois et
cœurs.
