Exo 10
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit une application d'un ensemble dans un ensemble .
Question
Soit une partie de . Démontrer que l'on n'a pas toujours .
Trouvez un contre-exemple.
Vous pouvez utiliser l'application , par exemple.
Soit l'application de dans définie par et .
La fonction est continue sur . La fonction est strictement décroissante sur et strictement croissante sur .
Donc : , et .
Et : , donc .
Conclusion : .
Question
Démontrer que pour toute partie de si et seulement si est injective.
Démontrez successivement les deux implications.
Remarquez que, parmi les parties de , il y a tous les singletons .
Montrons successivement les deux implications :
On suppose que : . Donc : .
Donc : . Donc est injective.
On suppose que est injective. Soit une partie de .
. Et : car est injective.
Donc : , donc . Donc : .
Conclusion : pour toute partie de si et seulement si est injective.
Question
Question
Démontrer que pour toute partie de si et seulement si est surjective.
Démontrez successivement les deux implications.
Montrons successivement les deux implications :
On suppose que : . Soit .
Donc : ou , mais, dans ce cas, .
Donc : . Donc est surjective.
On suppose que est surjective. Soit une partie de .
car est surjective.
Cet élément ne peut pas appartenir à , car .
Donc : , donc . Donc : .
Conclusion : pour toute partie de si et seulement si est surjective.
Donc pour toute partie de si et seulement si est bijective.