Exo 10
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
une application d'un ensemble
dans un ensemble
.
Question
Soit
une partie de
. Démontrer que l'on n'a pas toujours
.
Trouvez un contre-exemple.
Vous pouvez utiliser l'application
, par exemple.
Soit
l'application de
dans
définie par
et
.
La fonction
est continue sur
. La fonction
est strictement décroissante sur
et strictement croissante sur
.
Donc :
, et
.
Et :
, donc
.
Conclusion :
.
Question
Démontrer que
pour toute partie
de
si et seulement si
est injective.
Démontrez successivement les deux implications.
Remarquez que, parmi les parties de
, il y a tous les singletons
.
Montrons successivement les deux implications :
On suppose que :
. Donc :
.Donc :
. Donc
est injective.
On suppose que
est injective. Soit
une partie de
.
. Et :
car
est injective.Donc :
, donc
. Donc :
.
Conclusion :
pour toute partie
de
si et seulement si
est injective.
Question
Question
Démontrer que
pour toute partie
de
si et seulement si
est surjective.
Démontrez successivement les deux implications.
Montrons successivement les deux implications :
On suppose que :
. Soit
.Donc :
ou
, mais, dans ce cas,
.Donc :
. Donc
est surjective.
On suppose que
est surjective. Soit
une partie de
.
car
est surjective.Cet élément
ne peut pas appartenir à
, car
.Donc :
, donc
. Donc :
.
Conclusion :
pour toute partie
de
si et seulement si
est surjective.
Donc
pour toute partie
de
si et seulement si
est bijective.
