Ensembles

Exo 2

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soient et deux ensembles.

Question

A quelle condition a-t-on ?

Indice

Etudiez successivement les deux inclusions.

Solution

Etudions successivement les deux inclusions :

  • , donc toute partie de est incluse dans , donc .

    De même , donc .

    Donc pour tous les ensembles et , on a .

  • On a l'égalité si et seulement si toute partie de est incluse dans ou dans .

    En particulier, il faut que ou , donc que ou .

    Réciproquement, si , alors , donc . De même si , alors .

    Donc, dans les deux cas, on a : .

Conclusion : Pour tous les ensembles et , on a , mais il y a égalité si et seulement si ou .

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