Suites et fonctions (page 2/3)

Enoncé

Le tableau de variations d'une fonction est le suivant :

Soit la suite définie par et .

Aides de résolution :

(a, b). Faire une démonstration par récurrence et utiliser le sens de variations de la fonction sur .
On rappelle le théorème suivant :
Si est croissante sur contenant et alors .

Résultat

Correction

	(a). Pour tout de , on a . Notons la proposition : « ». Initialisation : et donc est vraie. Hérédité : supposons que soit vraie pour un entier : alors . Comme est croissante sur , on a . Soit et donc . Alors est vraie. Conclusion : pour tout de , .
	(b). Pour tout de , on a Notons la proposition : « ». Initialisation : et donc et est vraie. Hérédité : supposons que soit vraie pour un entier : alors . Comme est croissante sur , on a : soit , et donc est vraie. Conclusion : pour tout de , . La suite est donc croissante.
	(c). Pour , la suite est encore croissante. Si alors , soit . Donc la suite n'est pas croissante. On montre, comme à la question précédente, que est décroissante.
	(d). Si est la courbe de sur alors le graphique suivant peut représenter la suite étudiée : Le graphique donné peut représenter la suite . Il apparaît que est croissante si et décroissante si . D'autre part, elle semble converger vers l'abscisse du point d'intersection de la courbe de et de la droite d'équation .

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